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MATHEMATIK

Formelsammlung Hydrostatik

 

Inhaltsverzeichnis

Druck in Flüssigkeiten

Konstanten:
g = Erdbeschleunigung
p0 = Luftdruck über der Flüssigkeit
ρ = Dichte des Mediums
Druck in Tiefe x:
p(x) = p_0 + g\cdot\rho\cdot x
In Wasser ist ρ = 1000 kg/m³, ferner ist g = 9{,}81 m/s² und p0 = 101325 Pa, somit
p(x) = 101325\,\mathrm{Pa} + 9810\,\mathrm{\frac{kg}{m^2\,s^2}} \cdot x\ ,
also 9810 Pascal je Tiefenmeter. Faustregel: Alle 10 Meter nimmt der Druck um 1 Atmosphäre zu.

Druck in Gasen

g = Erdbeschleunigung in Meereshöhe h0
p0 = Luftdruck in Meereshöhe
Variablen:
R = universelle Gaskonstante,
M = molare Masse,
T = Temperatur in Kelvin
h = Höhe im homogenen Äquivalentpotential

p(h)=p_0\cdot\exp\left(-\frac{1}{R}\int_{h_0}^{h}\frac{g(h')M(h')}{T(h')}\,\mathrm{d} h'\right)

Für die Dichte gilt dabei

\rho(h)=p(h)\cdot\frac{M(h)}{R\,T(h)}\ .

 

Isotherme Höhenformel

Konstanten: R = universelle Gaskonstante,
M = molare Masse,
g = Erdbeschleunigung in Meereshöhe
p0 = Luftdruck in Meereshöhe
T = Temperatur in Kelvin
Variablen: h = Höhe im homogenen Äquivalentpotential,
p = p_0 e^{-\frac{h}{h_s}}\quad\mbox{mit}\quad h_s = \frac{RT}{Mg}

 

Höhenformel mit linearem Temperaturverlauf

T0 = Temperatur in Meereshöhe (Kelvin)
α = Temperaturgradient dT/dh
p = p_0\left(1+\frac{\alpha h}{T_0}\right)^\beta\quad\mbox{mit}\quad \beta=-\frac{Mg}{R\alpha}

 

Höhenformel mit stückweise linearem Temperaturverlauf

Variablen:
i\ge0 = Nummer der Luftschicht; 0 = unterste Schicht
pi = Druck an der Basis der i-ten Luftschicht
Ti = Temperatur an der Basis der i-ten Schicht
\alpha_i={T_{i+1}-T_i \over h_{i+1}-h_i} = Temperaturgradient der i-ten Luftschicht
\beta_i=-\frac{Mg}{R\alpha_i}

Druck an der Obergrenze der i-ten Luftschicht

p_{i+1} = p_i\cdot\begin{cases} e^{-{Mg \over RT_i}(h_{i+1}-h_i)}, &\mbox{wenn}\quad \alpha_i = 0\\ \left(1+\frac{\alpha_i(h_{i+1}-h_i)}{T_i}\right)^{\beta_i} & \mbox{wenn}\quad \alpha_i \ne 0 \end{cases}

Druck in beliebiger Höhe h_n \le h \le h_{n+1}:

p(h) = p_n\cdot\begin{cases} e^{-{Mg \over RT_n}(h-h_n)}, &\mbox{wenn}\quad \alpha_n = 0\\ \left(1+\frac{\alpha_n (h-h_n)}{T_n}\right)^{\beta_n} & \mbox{wenn}\quad \alpha_n \ne 0 \end{cases}

Temperatur:

T(h) = T_n+\alpha_n\left(h-h_n\right)

Beispiel: Standardatmosphäre bis etwa 90 Kilometer Höhe (M = 29 g/mol).

 

Linearer Verlauf von Temperatur und Molmasse

Konstanten:
\mu_i={M_{i+1}-M_i \over h_{i+1}-h_i} = Gradient der molaren Masse M in der i-ten Schicht, so dass für beliebige h_n \le h \le h_{n+1} gilt

M(h) = M_n+\mu_n\left(h-h_n\right)

Fall A: Isotherm

p(h)=p_n\cdot\exp\left( -\frac{g(h-h_n)}{R\,T_n}\left(M_n-\mu_n\cdot h_n+{\mu_n\over2}\cdot(h+h_n)\right) \right)

Fall B: Stückweise lineare Temperatur

p(h)=p_n\cdot\left(1+\frac{\alpha_n(h-h_n)}{T_n}\right)^{\gamma_n} \cdot\exp\left(-\frac{g\mu_n}{R\alpha_n}(h-h_n)\right)

mit

\gamma_n=\frac{g(\mu_n T_n-\alpha_n M_n)}{R\alpha_n^2}

Der rekursive Aufbau aller Schichten i = 0...n erfolgt analog zur Atmosphäre mit stückweise linearer Temperatur. Beispiel für nichtkonstantes M: Erdatmosphäre oberhalb von 90 Kilometern Höhe (abschnittweise linear interpoliert).

Als "quick & dirty"-Methode kann an Stelle von T auch eine "molekular skalierte Temperatur", TM, verwendet werden:

T_M(h)=T(h)\cdot\frac{M_0}{M(h)}\quad\mbox{bzw.}\quad M(h)=M_0\frac{T(h)}{T_M(h)}

An Stelle des wahren Temperaturgradienten α tritt αM, der Gradient von TM. Da M in der Formel durch M0 ersetzt wird, kann die einfachere Formel für konstantes M verwendet werden. Allerdings ist zu beachten, dass M(h) durch die Interpolation verändert wird, denn der Molmassengradient µ ist nun nicht mehr konstant in jeder Teilschicht, sondern hat nach der Quotientenregel die Gestalt

\mu = {\mathrm{d}M\over\mathrm{d}h} = M_0\frac{\alpha T_M-\alpha_M T}{T_M^2}\ .

 

Geopotential-Korrektur

h = Geopotential-Höhe
z = Wahre Höhe
R = Erdradius

z(h)=\frac{R\,h}{R-h}\quad\mbox{bzw.}\quad h(z)=\frac{R\,z}{R+z}

zh für kleine h

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