Erzwungene Schwingungen
Mathematischer Anhang

Das Federpendel ist gekennzeichnet durch die Federkonstante D, die Masse m und die Dämpfungskonstante G.(G ist ein Maß für die Reibungskraft,die als proportional zur Geschwindigkeit vorausgesetzt wird.)
Die Hin- und Herbewegung der Pendelaufhängung erfolgt nach derGesetzmäßigkeity_E   =   A_E cos (wt).Dabei ist y_E die Elongation (Auslenkung) des Erregers gegenüber der Mittelposition; A_E steht für die Amplitude der Erregerschwingung, w für die zugehörige Kreisfrequenz und t für die Zeit.

Es geht nun darum herauszufinden, wie groß die Elongation y desResonators (gemessen bezüglich seiner Mittelposition) zur Zeit t ist.Unter Verwendung der Bezeichnungw₀   =   (D/m)^1/2ergibt sich für dieses Problem die folgende Differenzialgleichung:

Bei der Lösung dieser Differenzialgleichung sind mehrere Fälle zu unterscheiden:

Fall 1: G < 2 w0

Fall 1.1: G < 2 w0; G ¹ 0 oder w ¹ w0

y(t)   =   A_abs sin (wt) + A_el cos (wt)   +   e^-Gt/2 [A₁ sin (w₁t) + B₁ cos (w₁t)]
w₁   =   (w₀² - G²/4)^1/2
A_abs   =   A_E w₀² G w / [(w₀² - w²)² + G² w²]
A_el   =   A_E w₀² (w₀² - w²) / [(w₀² - w²)² + G² w²]
A₁   =   - (A_abs w + (G/2) A_el) / w₁
B₁   =   - A_el

Fall 1.2: G < 2 w0; G = 0 und w = w0

y(t)   =   (A_E w t / 2) sin (wt)

Fall 2: G = 2 w0

y(t)   =   A_abs sin (wt) + A_el cos (wt)   +   e^-Gt/2 (A₁ t + B₁)
A_abs   =   A_E w₀² G w / (w₀² + w²)²
A_el   =   A_E w₀² (w₀² - w²) / (w₀² + w²)²
A₁   =   - (A_abs w + (G/2) A_el)
B₁   =   - A_el

Fall 3: G > 2 w0

y(t)   =   A_abs sin (wt) + A_el cos (wt)   +   e^-Gt/2 [A₁ sinh (w₁t) + B₁ cosh (w₁t)]
w₁   =   (G²/4 - w₀²)^1/2
A_abs   =   A_E w₀² G w / [(w₀² - w²)² + G² w²]
A_el   =   A_E w₀² (w₀² - w²) / [(w₀² - w²)² + G² w²]
A₁   =   - (A_abs w + (G/2) A_el) / w₁
B₁   =   - A_el

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