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Inhaltsverzeichnis

Formelsammlung Trigonometrie

Die folgende Liste enthält die meisten bekannten Formeln aus der Dreieckstrigonometrie der Ebene. Die meisten dieser Beziehungen verwenden trigonometrische Funktionen.

Dabei werden die folgenden Bezeichnungen verwendet: Das Dreieck ABC habe die Seiten a = BC, b = CA und c = AB, die Winkel α, β und γ bei den Ecken A, B und C. Ferner seien r der Umkreisradius, ρ der Inkreisradius und ρ_a, ρ_b und ρ_c die Ankreisradien (und zwar die Radien der Ankreise, die den Ecken A, B bzw. C gegenüberliegen) des Dreiecks ABC. Die Variable s steht für den halben Umfang des Dreiecks ABC: $s=\frac{a+b+c}{2}$ . Schließlich wird die Fläche des Dreiecks ABC mit F bezeichnet. Alle anderen Bezeichnungen werden jeweils in den entsprechenden Abschnitten, in denen sie vorkommen, erläutert.

Inhaltsverzeichnis

1 Winkelsumme

2 Sinussatz

3 Kosinussatz

4 Projektionssatz

5 Die Mollweideschen Formeln

6 Tangenssatz

7 Formeln mit dem halben Umfang

8 Flächeninhalt und Umkreisradius

9 In- und Ankreisradien

10 Höhen

11 Seitenhalbierende

12 Winkelhalbierende

13 Gegenseitige Darstellung

14 Vorzeichen der Winkelfunktionen

15 Symmetrien

16 Additionstheoreme

17 Doppelwinkelfunktionen

18 Winkelfunktionen für weitere Vielfache

19 Halbwinkelformeln

20 Identitäten

21 Produkte der Winkelfunktionen

22 Potenzen der Winkelfunktionen

23 Reduktionsformeln

24 Weitere Formeln

25 Reihenentwicklung

Winkelsumme

$\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$ .

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Sinussatz

$\frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma };\;\;\;\;\frac{c}{a}=\frac{\sin \gamma }{\sin \alpha };\;\;\;\;\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }$

a :sinα = b :sinβ = c :sinγ

a : b : c = sinα:sinβ:sinγ

(Verhältnisgleichung)

Siehe auch: Sinussatz

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Kosinussatz

a 2 = b 2 + c 2 - 2 bc cosα

b 2 = c 2 + a 2 - 2 ca cosβ

c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab cosγ

$\cos \alpha =\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$\cos \beta = \frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}$

$\cos \gamma =\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

$a^{2}+bc\cos \alpha =b^{2}+ca\cos \beta =c^{2}+ab\cos \gamma =\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}$

Siehe auch: Cosinussatz

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Projektionssatz

a = b cosγ + c cosβ

b = c cosα + a cosγ

c = a cosβ + b cosα

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Die Mollweideschen Formeln

$\frac{b+c}{a}=\frac{\cos \frac{\beta -\gamma }{2}}{\sin \frac{\alpha }{2}};\;\;\;\;\frac{b-c}{a}=\frac{\sin \frac{\beta -\gamma }{2}}{\cos \frac{\alpha }{2}}$

Analoge Formeln gelten für (c + a)/b, (c - a)/b, (a + b)/c und (a - b)/c.

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Tangenssatz

$\frac{b+c}{b-c}=\frac{\tan \frac{\beta +\gamma }{2}}{\tan \frac{\beta -\gamma }{2}}=\frac{\cot \frac{\alpha}{2}}{\tan \frac{\beta -\gamma }{2}}$

Analoge Formeln gelten für (c + a)/(c - a) und (a + b)/(a - b).

Siehe auch: Tangenssatz

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Formeln mit dem halben Umfang

Im folgenden bedeutet s immer die Hälfte des Umfangs des Dreiecks ABC, also $s=\frac{a+b+c}{2}$ .

$s-a=\frac{b+c-a}{2};\;\;\;\;s-b=\frac{c+a-b}{2};\;\;\;\;s-c=\frac{a+b-c}{2}$

$\left( s-b\right) +\left( s-c\right) =a$

$\left( s-c\right) +\left( s-a\right) =b$

$\left( s-a\right) +\left( s-b\right) =c$

$\left( s-a\right) +\left( s-b\right) +\left( s-c\right) =s$

$\sin \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{\left( s-b\right) \left( s-c\right) }{bc}};\;\;\;\;\sin \frac{\beta }{2}=\sqrt{\frac{\left( s-c\right) \left(s-a\right) }{ca}};\;\;\;\;\sin \frac{\gamma }{2}=\sqrt{\frac{\left(s-a\right) \left( s-b\right) }{ab}}$

$\cos \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{s\left( s-a\right) }{bc}};\;\;\;\;\cos \frac{\beta }{2}=\sqrt{\frac{s\left( s-b\right) }{ca}};\;\;\;\;\cos \frac{\gamma }{2}=\sqrt{\frac{s\left( s-c\right) }{ab}}$

$\tan \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{\left( s-b\right) \left( s-c\right) }{s\left( s-a\right) }};\;\;\;\;\tan \frac{\beta }{2}=\sqrt{\frac{\left(s-c\right) \left( s-a\right) }{s\left( s-b\right) }};\;\;\;\;\tan \frac{\gamma }{2}=\sqrt{\frac{\left( s-a\right) \left( s-b\right) }{s\left(s-c\right) }}$

$s=4r\cos \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}$

$s-a=4r\cos \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}$

Analoge Formeln gelten für s-b und s-c.

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Flächeninhalt und Umkreisradius

Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC wird hier mit F bezeichnet (nicht, wie heute üblich, mit A, um eine Verwechselung mit der Dreiecksecke A auszuschließen):

Den Umkreisradius des Dreiecks ABC bezeichnen wir mit r.

[Es ist zu beachten, dass die hier benutzten Bezeichnungen r, ρ, ρ_a, ρ_b, ρ_c für den Umkreisradius, den Inkreisradius und die drei Ankreisradien von der vorwiegend im englischsprachigen Raum verbreiteten Bezeichnungsweise abweichen, bei der dieselben Größen R, r, r_a, r_b, r_c genannt werden.]

Heronsche Formel:
$F=\sqrt{s\left( s-a\right) \left( s-b\right) \left( s-c\right) }=\frac{1}{4}\sqrt{\left( a+b+c\right) \left( b+c-a\right) \left( c+a-b\right) \left(a+b-c\right) }$

$F=\frac{1}{4}\sqrt{2\left(b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}\right) -\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right) }$

$F=\frac{1}{2}bc\sin \alpha =\frac{1}{2}ca\sin \beta =\frac{1}{2}ab\sin\gamma$

$F=\frac{1}{2}ah_{a}=\frac{1}{2}bh_{b}=\frac{1}{2}ch_{c}$ , wobei h_a, h_b und h_c die Längen der von A, B bzw. C ausgehenden Höhen des Dreiecks ABC sind.

F = 2 r 2 sinαsinβsinγ

$F=\frac{abc}{4r}$

$F=\rho s=\rho _{a}\left( s-a\right) =\rho _{b}\left( s-b\right) =\rho_{c}\left( s-c\right)$

$F=\sqrt{\rho \rho _{a}\rho _{b}\rho _{c}}$

Erweiterter Sinussatz: $\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2r$

a = 2 r sinα

b = 2 r sinβ

c = 2 r sinγ

$r=\frac{abc}{4F}$

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In- und Ankreisradien

In diesem Abschnitt werden Formeln aufgelistet, in denen der Inkreisradius ρ und die Ankreisradien ρ_a, ρ_b und ρ_c des Dreiecks ABC vorkommen.

$\rho =\left( s-a\right) \tan \frac{\alpha }{2}=\left( s-b\right) \tan \frac{\beta }{2}=\left( s-c\right) \tan \frac{\gamma }{2}$

$\rho =4r\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}=s\tan \frac{\alpha }{2}\tan \frac{\beta }{2}\tan \frac{\gamma }{2}$

$\rho =r\left( \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1\right)$

$\rho =\frac{F}{s}=\frac{abc}{4rs}$

$\rho =\sqrt{\frac{\left( s-a\right) \left( s-b\right) \left( s-c\right) }{s}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\left( b+c-a\right) \left( c+a-b\right) \left(a+b-c\right) }{a+b+c}}$

$\rho =\frac{a}{\cot \frac{\beta }{2}+\cot \frac{\gamma }{2}}=\frac{b}{\cot \frac{\gamma }{2}+\cot \frac{\alpha }{2}}=\frac{c}{\cot \frac{\alpha }{2}+\cot \frac{\beta }{2}}$

Wichtige Ungleichung: $2\rho \leq r$ ; Gleichheit tritt nur dann ein, wenn Dreieck ABC gleichseitig ist.

$\rho _{a}=s\tan \frac{\alpha }{2}=\left( s-b\right) \tan \frac{\gamma }{2}=\left( s-c\right) \tan \frac{\beta }{2}$

$\rho _{a}=4r\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}=\left( s-a\right) \tan \frac{\alpha }{2}\cot \frac{\beta }{2}\cot \frac{\gamma }{2}$

$\rho _{a}=r\left( -\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma +1\right)$

$\rho _{a}=\frac{F}{s-a}=\frac{abc}{4r\left( s-a\right) }$

$\rho _{a}=\sqrt{\frac{s\left( s-b\right) \left( s-c\right) }{s-a}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\left( a+b+c\right) \left( c+a-b\right) \left( a+b-c\right) }{b+c-a}}$

Die Ankreise sind gleichberechtigt: Jede Formel für ρ_a gilt in analoger Form für ρ_b und ρ_c.

$\frac{1}{\rho }=\frac{1}{\rho _{a}}+\frac{1}{\rho _{b}}+\frac{1}{\rho _{c}}$

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Höhen

Die Längen der von A, B bzw. C ausgehenden Höhen des Dreiecks ABC werden mit h_a, h_b und h_c bezeichnet.

$h_{a}=b\sin \gamma =c\sin \beta =\frac{2F}{a}=2r\sin \beta \sin \gamma$

$h_{b}=c\sin \alpha =a\sin \gamma =\frac{2F}{b}=2r\sin \gamma \sin \alpha$

$h_{c}=a\sin \beta =b\sin \alpha =\frac{2F}{c}=2r\sin \alpha \sin \beta$

$h_{a}=\frac{a}{\cot \beta +\cot \gamma };\;\;\;\;\;h_{b}=\frac{b}{\cot\gamma +\cot \alpha };\;\;\;\;\;h_{c}=\frac{c}{\cot \alpha +\cot \beta }$

$F=\frac{1}{2}ah_{a}=\frac{1}{2}bh_{b}=\frac{1}{2}ch_{c}$

$\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{1}{\rho }=\frac{1}{\rho _{a}}+\frac{1}{\rho _{b}}+\frac{1}{\rho _{c}}$

Hat das Dreieck ABC einen rechten Winkel bei C (ist also γ = 90°), dann gilt

$h_{c} = \frac{a b}{c}$

h a = b

h b = a

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Seitenhalbierende

Die Längen der von A, B bzw. C ausgehenden Seitenhalbierenden des Dreiecks ABC werden s_a, s_b und s_c genannt.

$s_{a}=\frac{1}{2}\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{b^{2}+c^{2}+2bc\cos \alpha }=\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+bc\cos \alpha }$

$s_{b}=\frac{1}{2}\sqrt{2c^{2}+2a^{2}-b^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{c^{2}+a^{2}+2ca\cos \beta }=\sqrt{\frac{b^{2}}{4}+ca\cos \beta }$

$s_{c}=\frac{1}{2}\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+b^{2}+2ab\cos \gamma }=\sqrt{\frac{c^{2}}{4}+ab\cos \gamma }$

$s_{a}^{2}+s_{b}^{2}+s_{c}^{2}=\frac{3}{4}\left( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)$

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Winkelhalbierende

Wir bezeichnen mit w_α, w_β und w_γ die Längen der von A, B bzw. C ausgehenden Winkelhalbierenden im Dreieck ABC.

$w_{\alpha }=\frac{2bc\cos \frac{\alpha }{2}}{b+c}=\frac{2F}{a\cos \frac{\beta -\gamma }{2}}$

$w_{\beta }=\frac{2ca\cos \frac{\beta }{2}}{c+a}=\frac{2F}{b\cos \frac{\gamma -\alpha }{2}}$

$w_{\gamma }=\frac{2ab\cos \frac{\gamma }{2}}{a+b}=\frac{2F}{c\cos \frac{\alpha -\beta }{2}}$

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Gegenseitige Darstellung

Die trigonometrischen Funktionen lassen sich ineinander umwandeln oder gegenseitig darstellen. Es gelten folgende Zusammenhänge:

$\tan x = \frac{ \sin x }{ \cos x }$

sin 2 x + cos 2 x = 1

$1+\tan ^{2}x=\frac{1}{\cos ^{2}x}=\sec ^{2}x$

$1+\cot ^{2}x=\frac{1}{\sin ^{2}x}=\csc ^{2}x$

Mittels dieser Gleichungen lassen sich die drei vorkommenden Funktionen durch eine der beiden anderen darstellen:

$\sin x = \sqrt{ 1 - \cos^2 x } \quad f\ddot ur \quad x\in \left[ 0^{\circ };\;180^{\circ }\right]$

$\sin x = - \sqrt{ 1 - \cos^2 x } \quad f\ddot ur \quad x\in \left[ 180^{\circ };\;360^{\circ }\right]$

$\sin x = \frac{ \tan x }{ \sqrt{ 1 + \tan^2 x } } \quad f\ddot ur \quad x\in \left[ 0^{\circ };\;90^{\circ }\right] \cup \left[ 270^{\circ};\;360^{\circ }\right]$

$\sin x = - \frac{ \tan x }{ \sqrt{ 1 + \tan^2 x } } \quad f\ddot ur \quad x\in \left[ 90^{\circ };\;270^{\circ }\right]$

$\cos x = \sqrt{ 1 - \sin^2 x } \quad f\ddot ur \quad x\in \left[ 0^{\circ };\;90^{\circ }\right] \cup \left[ 270^{\circ};\;360^{\circ }\right]$

$\cos x = - \sqrt{ 1 - \sin^2 x } \quad f\ddot ur \quad x\in \left[ 90^{\circ };\;270^{\circ }\right]$

$\cos x = \frac{ 1 }{ \sqrt{ 1 + \tan^2 x } } \quad f\ddot ur \quad x\in \left[ 0^{\circ };\;90^{\circ }\right] \cup \left[ 270^{\circ};\;360^{\circ }\right]$

$\cos x = - \frac{ 1 }{ \sqrt{ 1 + \tan^2 x } } \quad f\ddot ur \quad x\in \left[ 90^{\circ };\;270^{\circ }\right]$

$\tan x = \frac{ \sqrt{ 1 - \cos^2 x } }{ \cos x } \quad f\ddot ur \quad x\in \left[ 0^{\circ };\;180^{\circ }\right]$

$\tan x = - \frac{ \sqrt{ 1 - \cos^2 x } }{ \cos x } \quad f\ddot ur \quad x\in \left[ 180^{\circ };\;360^{\circ }\right]$

$\tan x = \frac{ \sin x }{ \sqrt{ 1 - \sin^2 x } } \quad f\ddot ur \quad x\in \left[ 0^{\circ };\;90^{\circ }\right] \cup \left[ 270^{\circ};\;360^{\circ }\right]$

$\tan x = - \frac{ \sin x }{ \sqrt{ 1 - \sin^2 x } } \quad f\ddot ur \quad x\in \left[ 90^{\circ };\;270^{\circ }\right]$

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Vorzeichen der Winkelfunktionen

$\sin x > 0 \quad f\ddot ur \quad x\in \left] 0^{\circ };\;180^{\circ }\right[$

$\sin x < 0 \quad f\ddot ur \quad x\in \left] 180^{\circ };\;360^{\circ }\right[$

$\cos x > 0 \quad f\ddot ur \quad x\in \left] 0^{\circ };\;90^{\circ }\right[ \cup \left] 270^{\circ};\;360^{\circ }\right[$

$\cos x < 0 \quad f\ddot ur \quad x\in \left] 90^{\circ };\;270^{\circ }\right[$

$\tan x > 0 \quad f\ddot ur \quad x\in \left] 0^{\circ };\;90^{\circ }\right] \cup \left[ 180^{\circ};\;270^{\circ }\right[$

$\tan x < 0 \quad f\ddot ur \quad x\in \left] 90^{\circ };\;180^{\circ }\right] \cup \left[ 270^{\circ};\;360^{\circ }\right[$

Die Vorzeichen von cot, sec und csc stimmen überein mit denen ihrer Kehrwertfunktionen tan, cos bzw. sin.

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Symmetrien

Die trigonometrischen Funktionen haben einfache Symmetrien:

$\sin (-x) = - \sin x \;$

$\cos (-x) = \cos x \;$

$\tan (-x) = - \tan x \;$

$\cot (-x) = - \cot x \;$

$\sec (-x) = \sec x \;$

$\csc (-x) = - \csc x \;$

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Additionstheoreme

Weiterhin sind die Additionstheoreme nützlich:

$\sin ( x + y ) = \sin x \; \cos y + \sin y \; \cos x$

$\sin ( x - y ) = \sin x \; \cos y - \sin y \; \cos x$

$\cos ( x + y ) = \cos y \; \cos x - \sin x \; \sin y$

$\cos ( x - y ) = \cos y \; \cos x + \sin x \; \sin y$

$\tan ( x + y ) = \frac{ \tan x + \tan y }{ 1 - \tan x \; \tan y } = \frac{ \sin (x + y) }{ \cos (x + y) }$

$\tan ( x - y ) = \frac{ \tan x - \tan y }{ 1 + \tan x \; \tan y } = \frac{ \sin (x - y) }{ \cos (x - y) }$

$\cot \left( x+y\right) =\frac{\cot x\cot y-1}{\cot x+\cot y} = \frac{ \cos (x + y) }{ \sin (x + y) }$

$\cot \left( x-y\right) =\frac{-\left( \cot x\cot y+1\right) }{\cot x-\cot y} = \frac{ \cos (x - y) }{ \sin (x - y) }$

sin(x + y)sin(x - y) = cos 2 y - cos 2 x

cos(x + y)cos(x - y) = cos 2 y - sin 2 x

Für x = y folgen hieraus die Doppelwinkelfunktionen.

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Doppelwinkelfunktionen

$\sin ( 2\; x ) = 2 \sin x \; \cos x = \frac{2 \tan x}{ 1 + \tan^2 x }$

$\cos ( 2\; x ) = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2 \sin^2 x = 2 \cos^2 x - 1 = \frac{ 1 - \tan^2 x }{ 1 + \tan^2 x }$

$\tan ( 2\; x ) = \frac{ 2 \tan x }{ 1 - \tan^2 x } = \frac{2}{ \cot x - \tan x }$

$\cot ( 2\; x ) = \frac{ \cot^2 x - 1 }{2 \cot x } = \frac{ \cot x - \tan x}{2}$

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Winkelfunktionen für weitere Vielfache

$\sin ( 3\; x ) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$

$\sin ( 4\; x ) = 8 \sin x \; \cos^3 x - 4 \sin x \; \cos x$

$\sin ( 5\; x ) = 16 \sin x \; \cos^4 x - 12 \sin x \; \cos^2 x + \sin x$

$\sin ( n\; x ) = n \; \sin x \; \cos^{n - 1} x - {n \choose 3} \sin^3 x \; \cos^{n - 3} x + {n \choose 5} \sin^5 x \; \cos^{n - 5} x \; - \; + \; \dots$

$\cos ( 3\; x ) = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$

$\cos ( 4\; x ) = 8 \cos^4 x - 8 \cos^2 x + 1$

$\cos ( 5\; x ) = 16 \cos^5 x - 20 \cos^3 x + 5 \cos x$

$\cos ( n\; x ) = \cos^n x - {n \choose 2} \sin^2 x \; \cos^{n - 2} x + {n \choose 4} \sin^4 x \; \cos^{n - 4} x \; - \; + \; \dots$

$\tan ( 3\; x ) = \frac{ 3 \tan x - \tan^3 x }{ 1 - 3 \tan^2 x }$

$\tan ( 4\; x ) = \frac{ 4 \tan x - 4 \tan^3 x }{ 1 - 6 \tan^2 x + \tan^4 x }$

$\cot ( 3\; x ) = \frac{ \cot^3 x - 3 \cot x }{ 3 \cot^2 x - 1 }$

$\cot ( 4\; x ) = \frac{ \cot^4 x - 6 \cot^2 x + 1 }{ 4 \cot^3 x - 4 \cot x }$

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Halbwinkelformeln

Zur Berechnung des Funktionswertes des halben Arguments dienen die Halbwinkelformeln:

$\sin \left( \frac{x}{2} \right) = \pm \sqrt{\frac{1-\cos(x)}{2}} \quad f\ddot ur \quad x\in \left[ 0^{\circ };\;360^{\circ }\right]$

$\cos \left( \frac{x}{2} \right) = \pm \sqrt{\frac{1+\cos(x)}{2}} \quad f\ddot ur \quad x\in \left[ -180^{\circ };\;180^{\circ }\right]$

$\tan \left( \frac{x}{2} \right) = \pm \sqrt{\frac{1-\cos(x)}{1+\cos(x)}} = \frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}=\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)} \quad f\ddot ur \quad x\in \left( -180^{\circ };\;180^{\circ }\right)$

$\cot \left( \frac{x}{2} \right) = \pm \sqrt{\frac{1+\cos(x)}{1-\cos(x)}} = \frac{1+\cos(x)}{\sin(x)}=\frac{\sin(x)}{1-\cos(x)} \quad f\ddot ur \quad x\in \left( -180^{\circ };\;180^{\circ }\right)$

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Identitäten

Aus den Additionstheoremen lassen sich Identitäten ableiten, mit denen die Summe zweier trigonometrischer Funktionen als Produkt aufgefasst werden kann:

$\sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$

$\sin x-\sin y=2\cos \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}$

$\cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$

$\cos x-\cos y=-2\sin \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}$

$\tan x+\tan y=\frac{\sin (x+y) }{\cos x\cos y}$

$\tan x-\tan y=\frac{\sin (x-y) }{\cos x\cos y}$

$\cot x+\cot y=\frac{\sin (x+y) }{\sin x\sin y}$

$\cot x-\cot y=\frac{-\sin (x-y) }{\sin x\sin y}$

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Produkte der Winkelfunktionen

$\sin x \; \sin y = \frac{1}{2}\left[\cos (x-y) - \cos (x+y)\right]$

$\cos x \; \cos y = \frac{1}{2}\left[\cos (x-y) + \cos (x+y)\right]$

$\sin x \; \cos y = \frac{1}{2}\left[\sin (x-y) + \sin (x+y)\right]$

$\tan x \; \tan y = \frac{\tan x + \tan y}{\cot x + \cot y} = - \frac{\tan x - \tan y}{\cot x - \cot y}$

$\cot x \; \cot y = \frac{\cot x + \cot y}{\tan x + \tan y} = - \frac{\cot x - \cot y}{\tan x - \tan y}$

$\tan x \; \cot y = \frac{\tan x + \cot y}{\cot x + \tan y} = - \frac{\tan x - \cot y}{\cot x - \tan y}$

$\sin x \; \sin y \; \sin z = \frac{1}{4}\left[\sin (x+y-z) + \sin (y+z-x) + \sin (z+x-y) - \sin (x+y+z)\right]$

$\cos x \; \cos y \; \cos z = \frac{1}{4}\left[\cos (x+y-z) + \cos (y+z-x) + \cos (z+x-y) + \cos (x+y+z)\right]$

$\sin x \; \sin y \; \cos z = \frac{1}{4}\left[- \cos (x+y-z) + \cos (y+z-x) + \cos (z+x-y) - \cos (x+y+z)\right]$

$\sin x \; \cos y \; \cos z = \frac{1}{4}\left[\sin (x+y-z) - \sin (y+z-x) + \sin (z+x-y) + \sin (x+y+z)\right]$

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Potenzen der Winkelfunktionen

$\sin^2 x = \frac{1}{2}\ \left[1 - \cos (2\ x)\right]$

$\cos^2 x = \frac{1}{2}\ \left[1 + \cos (2\ x)\right]$

$\tan^2 x = \frac{1 - \cos (2\ x)}{1 + \cos (2\ x)}$

$\sin^3 x = \frac{1}{4}\ \left[3 \sin x - \sin (3\ x) \right]$

$\cos^3 x = \frac{1}{4}\ \left[3 \cos x + \cos (3\ x) \right]$

$\sin^4 x = \frac{1}{8}\ \left[\cos (4\ x - 4 \cos (2\ x) + 3 \right]$

$\cos^4 x = \frac{1}{8}\ \left[\cos (4\ x + 4 \cos (2\ x) + 3 \right]$

$\sin^5 x = \frac{1}{16}\ \left[10 \sin x - 5 \sin (3\ x) + \sin (5\ x) \right]$

$\cos^5 x = \frac{1}{16}\ \left[10 \cos x + 5 \cos (3\ x) + \cos (5\ x) \right]$

$\sin^6 x = \frac{1}{32}\ \left[10 - 15 \cos (2\ x) + 6 \cos (4\ x) - \cos (6\ x) \right]$

$\cos^6 x = \frac{1}{32}\ \left[10 + 15 \cos (2\ x) + 6 \cos (4\ x) + \cos (6\ x) \right]$

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Reduktionsformeln

Es gibt Reduktionsformeln, mit denen man das Argument einer Winkelfunktion in das Intervall [0, 90°] bzw. [0, π/4] bringen kann.

Siehe auch: Zusammenhang mit den Hyperbelfunktionen, Quadrant

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Weitere Formeln

Die folgenden Formeln folgen nach mehr oder weniger langen Termumformungen aus α + β + γ = 180°, gelten also allgemein für drei beliebige Winkel α, β und γ mit α + β + γ = 180°, solange die die in den Formeln vorkommenden Funktionen wohldefiniert sind (letzteres betrifft nur die Formeln, in denen Tangense und Kotangense vorkommen).

tanα + tanβ + tanγ = tanαtanβtanγ

cotβcotγ + cotγcotα + cotαcotβ = 1

$\cot \frac{\alpha }{2}+\cot \frac{\beta }{2}+\cot \frac{\gamma }{2}=\cot \frac{\alpha }{2}\cot \frac{\beta }{2}\cot \frac{\gamma }{2}$

$\tan \frac{\beta }{2}\tan \frac{\gamma }{2}+\tan \frac{\gamma }{2}\tan \frac{\alpha }{2}+\tan \frac{\alpha }{2}\tan \frac{\beta }{2}=1$

$\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}$

$-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}$

$\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}+1$

$-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}-1$

$\sin \left( 2\alpha \right) +\sin \left( 2\beta \right) +\sin \left(2\gamma \right) =4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$

$-\sin \left( 2\alpha \right) +\sin \left( 2\beta \right) +\sin \left(2\gamma \right) =4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma$

$\cos \left( 2\alpha \right) +\cos \left( 2\beta \right) +\cos \left(2\gamma \right) =-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1$

$-\cos \left( 2\alpha \right) +\cos \left( 2\beta \right) +\cos \left(2\gamma \right) =-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1$

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 2cosαcosβcosγ + 2

- sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 2cosαsinβsinγ

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = - 2cosαcosβcosγ + 1

- cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = - 2cosαsinβsinγ + 1

$-\sin ^{2}\left( 2\alpha \right) +\sin ^{2}\left( 2\beta \right) +\sin ^{2}\left( 2\gamma \right) =-2\cos \left( 2\alpha \right) \sin \left( 2\beta \right) \sin \left( 2\gamma \right)$

$-\cos ^{2}\left( 2\alpha \right) +\cos ^{2}\left( 2\beta \right) +\cos ^{2}\left( 2\gamma \right) =2\cos \left( 2\alpha \right) \sin \left( 2\beta \right) \sin \left( 2\gamma \right) +1$

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Reihenentwicklung

Der Sinus (blau) verglichen mit seiner Taylorreihe bis x7 (pink)

Der Sinus (blau) verglichen mit seiner Taylorreihe bis x⁷ (pink)

Bitte beachten: Hier, wie auch sonst in der Analysis, ist es wichtig, dass alle Winkel im Bogenmaß angegeben werden.

Man kann zeigen, dass der Cosinus die Ableitung des Sinus darstellt und die Ableitung des Cosinus der negative Sinus ist. Hat man diese Ableitungen, kann man die Taylorreihe entwickeln und zeigen, dass die folgenden Identitäten für alle x aus den reellen Zahlen gelten:

$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \; - \; \dots \; = \; \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \quad f\ddot ur \quad |x| < \infty$

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