Fehlersicherung Bei der Übertragung und Speicherung von Nachrichten können Fehler auftreten. "Fehler" eines binären Signals ist die Inversion dieses Signals (0 --> 1, 1 --> 0). Diese Störungen führen zur Verfälschung von Symbolen. Die Störung muß groß genug sein, um die physikalische Repräsentation umzukehren. Ja nach Repräsentation ist das nur schwer möglich (Vorteil gegenüber der Analogtechnik). Die "Stärke" der Störung wird durch die Bitfehler-Wahrscheinlichkeit ausgedrückt. Eine Bitfehlerwahrscheinlichkeit von z. B. 0,00001 bedeutet, daß auf 10000 übertragene Bits eines verfälscht ist. Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit von 0 ist die theoretische Grenze und mit endlichem Aufwand nicht erreichbar. Für ISDN-Leitungen der Telekom wird beispielsweise eine Bitfehlerwahrscheinlichkeit von 10-7 für sogenannte Dauerwählverbindungen angegeben. Aufgabe der Codesicherung ist es, die Bitfehler in Codewörtern oder Codewort-Blöcken zu erkennen oder zu beseitigen. Fehlererkennung ist nur möglich, wenn durch Bitfehler ungültige Codeworte entstehen (= Codeworte, die nicht im Codewort-Vorrat definiert sind). Bitfehler die ein Codewort in ein anderes gültiges Codewort verfälschen sind nicht erkennbar. Beispiel: 5-4-2-1-Code: 0 1 0 1 (= 5) 0 1 0 1(= 5)
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1 1 0 1 (Pseudotetrade) 0 1 0 0 (= 4)
--> Fehler erkannt --> Fehler nicht erkannt
Grundsätzlich gilt: Codewörter ohne Zeichenzuornung müssen vorhanden
sein --> Code muß redundant sein.
Beispiel: tetradische Codes:
m = 4 Rc = 4 - ld(10) = 4 - 3,32 = 0,68
M = 10 rc = 0,68 / 4 = 0,17 --> 17%
Die Redundanz stellt aber die Sicherheit gegen Übertragungsfehler
noch nicht her. Codes gleicher Redundanz können unterschiedlich
übertragungssicher sein.
Beispiel: 2-aus-5-Walking-Code <--> Libway-Craig-Code
Für beide gilt: m = 5, M = 10, Rc = 1,68, rc = 33,6%
Beim 2-aus-5-Walking-Code führt jede Verfälschung nur eines Bits
zu einem fehlerhaften Codewort. Beim Libway-Craig-Code kann ein
1-Bit-Fehler zu einem gültigen Codewort führen.
Das unterschiedliche Verhalten der beiden Codes ist darauf
zurückzuführen, daß sich zwei beliebige Codeworte beim
2-aus-5-Walking-Code in mindestens zwei Stellen voneinander unterscheiden
und beim Libway-Craig-Code nur ein Bit Unterschied besteht.
Distanz: (Stellendistanz)
Anzahl von Stellen, in denen sich zwei gültige Codeworte eines Codes voneinander
unterscheiden: 1 %lt;= d < m
Hammingdistanz:
Die Mindestzahl der Stellen, in denen sich jedes gültige Codewort
eines Codes von jedem anderen unterscheidet: h = dmin
Für das obige Beispiel zeigt sich:
2-aus-5-Walking-Code: h = 2
Libway-Craig-Code: h = 1
Erst bei h = 2 werden 1-Bit-Fehler sicher erkannt. Bei tetradischen
Codes mit h = 1 können solche Fehler nur teilweise erkannt
werden. Sollen mehr als ein Bitfehler erkannt werden oder Fehler
korrigiert werden, so muß die Hamming-Distanz erhöht werden.
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