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MATHEMATIK

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Inhaltsverzeichnis

Formelsammlung Hydrostatik

Inhaltsverzeichnis

1 Druck in Flüssigkeiten

2 Druck in Gasen

2.1 Isotherme Höhenformel
2.2 Höhenformel mit linearem Temperaturverlauf
2.3 Höhenformel mit stückweise linearem Temperaturverlauf
2.4 Linearer Verlauf von Temperatur und Molmasse

3 Geopotential-Korrektur

Druck in Flüssigkeiten

Konstanten:
g = Erdbeschleunigung
p₀ = Luftdruck über der Flüssigkeit
ρ = Dichte des Mediums
Druck in Tiefe x:
$p(x) = p_0 + g\cdot\rho\cdot x$
In Wasser ist ρ = 1000 kg/m³, ferner ist g = 9{,}81 m/s² und p₀ = 101325 Pa, somit
$p(x) = 101325\,\mathrm{Pa} + 9810\,\mathrm{\frac{kg}{m^2\,s^2}} \cdot x\ ,$
also 9810 Pascal je Tiefenmeter. Faustregel: Alle 10 Meter nimmt der Druck um 1 Atmosphäre zu.

Druck in Gasen

g = Erdbeschleunigung in Meereshöhe h₀
p₀ = Luftdruck in Meereshöhe
Variablen:
R = universelle Gaskonstante,
M = molare Masse,
T = Temperatur in Kelvin
h = Höhe im homogenen Äquivalentpotential

$p(h)=p_0\cdot\exp\left(-\frac{1}{R}\int_{h_0}^{h}\frac{g(h')M(h')}{T(h')}\,\mathrm{d} h'\right)$

Für die Dichte gilt dabei

$\rho(h)=p(h)\cdot\frac{M(h)}{R\,T(h)}\ .$

Isotherme Höhenformel

Konstanten: R = universelle Gaskonstante,
M = molare Masse,
g = Erdbeschleunigung in Meereshöhe
p₀ = Luftdruck in Meereshöhe
T = Temperatur in Kelvin
Variablen: h = Höhe im homogenen Äquivalentpotential,
$p = p_0 e^{-\frac{h}{h_s}}\quad\mbox{mit}\quad h_s = \frac{RT}{Mg}$

Höhenformel mit linearem Temperaturverlauf

T₀ = Temperatur in Meereshöhe (Kelvin)
α = Temperaturgradient dT/dh
$p = p_0\left(1+\frac{\alpha h}{T_0}\right)^\beta\quad\mbox{mit}\quad \beta=-\frac{Mg}{R\alpha}$

Höhenformel mit stückweise linearem Temperaturverlauf

Variablen:
$i\ge0$ = Nummer der Luftschicht; 0 = unterste Schicht
p_i = Druck an der Basis der i-ten Luftschicht
T_i = Temperatur an der Basis der i-ten Schicht
$\alpha_i={T_{i+1}-T_i \over h_{i+1}-h_i}$ = Temperaturgradient der i-ten Luftschicht
$\beta_i=-\frac{Mg}{R\alpha_i}$

Druck an der Obergrenze der i-ten Luftschicht

$p_{i+1} = p_i\cdot\begin{cases} e^{-{Mg \over RT_i}(h_{i+1}-h_i)}, &\mbox{wenn}\quad \alpha_i = 0\\ \left(1+\frac{\alpha_i(h_{i+1}-h_i)}{T_i}\right)^{\beta_i} & \mbox{wenn}\quad \alpha_i \ne 0 \end{cases}$

Druck in beliebiger Höhe $h_n \le h \le h_{n+1}$ :

$p(h) = p_n\cdot\begin{cases} e^{-{Mg \over RT_n}(h-h_n)}, &\mbox{wenn}\quad \alpha_n = 0\\ \left(1+\frac{\alpha_n (h-h_n)}{T_n}\right)^{\beta_n} & \mbox{wenn}\quad \alpha_n \ne 0 \end{cases}$

Temperatur:

$T(h) = T_n+\alpha_n\left(h-h_n\right)$

Beispiel: Standardatmosphäre bis etwa 90 Kilometer Höhe (M = 29 g/mol).

Linearer Verlauf von Temperatur und Molmasse

Konstanten:
$\mu_i={M_{i+1}-M_i \over h_{i+1}-h_i}$ = Gradient der molaren Masse M in der i-ten Schicht, so dass für beliebige $h_n \le h \le h_{n+1}$ gilt

$M(h) = M_n+\mu_n\left(h-h_n\right)$

Fall A: Isotherm

$p(h)=p_n\cdot\exp\left( -\frac{g(h-h_n)}{R\,T_n}\left(M_n-\mu_n\cdot h_n+{\mu_n\over2}\cdot(h+h_n)\right) \right)$

Fall B: Stückweise lineare Temperatur

$p(h)=p_n\cdot\left(1+\frac{\alpha_n(h-h_n)}{T_n}\right)^{\gamma_n} \cdot\exp\left(-\frac{g\mu_n}{R\alpha_n}(h-h_n)\right)$

mit

$\gamma_n=\frac{g(\mu_n T_n-\alpha_n M_n)}{R\alpha_n^2}$

Der rekursive Aufbau aller Schichten i = 0...n erfolgt analog zur Atmosphäre mit stückweise linearer Temperatur. Beispiel für nichtkonstantes M: Erdatmosphäre oberhalb von 90 Kilometern Höhe (abschnittweise linear interpoliert).

Als "quick & dirty"-Methode kann an Stelle von T auch eine "molekular skalierte Temperatur", T_M, verwendet werden:

$T_M(h)=T(h)\cdot\frac{M_0}{M(h)}\quad\mbox{bzw.}\quad M(h)=M_0\frac{T(h)}{T_M(h)}$

An Stelle des wahren Temperaturgradienten α tritt α_M, der Gradient von T_M. Da M in der Formel durch M₀ ersetzt wird, kann die einfachere Formel für konstantes M verwendet werden. Allerdings ist zu beachten, dass M(h) durch die Interpolation verändert wird, denn der Molmassengradient µ ist nun nicht mehr konstant in jeder Teilschicht, sondern hat nach der Quotientenregel die Gestalt

$\mu = {\mathrm{d}M\over\mathrm{d}h} = M_0\frac{\alpha T_M-\alpha_M T}{T_M^2}\ .$

Geopotential-Korrektur

h = Geopotential-Höhe
z = Wahre Höhe
R = Erdradius

$z(h)=\frac{R\,h}{R-h}\quad\mbox{bzw.}\quad h(z)=\frac{R\,z}{R+z}$

⇒ z ≈ h für kleine h

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